目录

RSA算法原理

RSA 算法原理

数论知识

质数

​ 大于1的自然数中,只能被1和它本身的数整除,如 2、3、5、7

互质关系

​ 如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系

  • 1与任何数都互质
  • 任意两个质数都互质
  • 质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。如5与1、2、3、4都构成互质关系

欧拉函数

​ 任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以符号$\phi(n)$表示

  • $\phi(1)=1$
  • 如果n为质数,则 $\phi(n)=n-1$
  • 如果n是两个互质的整数之积 $n=p_1\times p_2$ 则 $\phi(n)=\phi(p_1)\times \phi(p_2)$

欧拉定理

​ 如果两个正整数a和n互质,则下面的公式成立: $$ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n $$ 模反元素

​ 如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到b,使得下面的公式成立: $$ ab\equiv1\pmod n $$ ​ 证明模反元素必然存在,把欧拉定理拆开,$a\times a^{\phi(n)-1} \equiv 1 \pmod n$,

$a^{\phi(n)-1} + kn$ 全都是模反元素

密钥生成步骤

随机选择两个不相等的质数p和q (越大越好)

计算p和q的乘积 $n=p\times q$

计算n的欧拉函数 $\phi(n)=(p-1)(q-1)$

随机选择一个整数e, $1<e<\phi(n) 且 e与\phi(n)互质$

计算e对于$\phi(n)$的模反元素d(知道e和$\phi(n)$就等于知道了模反元素)

公布(n,e)为公钥、(n,d)为私钥

加密和解密

加密:公钥(n,e)

加密信息为m, m必须是整数,且m必须小于n

加密就是算出下面式子中的c: $$ m^e\equiv c \pmod n $$ 即密文 $c=m^e\bmod n$

解密: 私钥(n,d)

下面的等式一定成立: $$ c^d \equiv m \pmod n $$ 即明文 $m = c^d\bmod n$

证明

$$ 为什么\ \ c^d \equiv m \pmod n \ \ \ (1) \\ \because m^e\equiv c \pmod n\\ \therefore c = m^e-kn\\ c带入(1)得 \ (m^e - kn)^d \equiv m \pmod n\\ 等同与\ m^{ed}\equiv m \pmod n \ \ (2)\\ (比如(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b2,只有a得最高项不带b) \\ \because ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}\\ \therefore ed = h\phi(n) +1 \\ 将ed带入(2)得 \ m^{h\phi(n)+1} \equiv m \pmod n \ \ \ (3)\\ $$
证明(1)就是证明(3):

如果 m 和 n 互质

$$ 由欧拉定理得\ m^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod n \ \\ \because m\equiv m \pmod n \\ 同余式相乘性质:若a≡b(mod\ n),c≡d(mod\ n),则ac≡bd(mod\ n)。\\ (m^{\phi(n)})^h\times m \equiv m \times1^h \pmod n \\ m^{h\phi(n)+1} \equiv m \pmod n\\ 证明完成 $$

如果 m 和 n 不互质

$$ \because n = pq\ (质因子)\\\therefore 必然有\ m = kp\ 或\ m=kq\ (公因子只能是p或q)\\以\ m=kp\ 为例,kp与q必然互质,p为质数\\根据欧拉定理\ (kp)^{q-1} \equiv 1 \pmod q \ (自己多次乘上自己,再两边同时乘kp)\\进一步得到\ [(kp)^{q-1}]^{h(p-1)} \times kp \equiv kp \pmod q\\\because ed = h\phi(n) +1 \\化简\ (kp)^{ed} \equiv kp \pmod q\\改写成\ (kp)^{ed} = kp + tq\\这时t必然能被p整除,即\ t=t'p\ (因为(kp)^{ed}一定是p的整倍数)\\(kp)^{ed} = kp+t'pq\\\because m=kp, n=pq\\\therefore m^{ed}=m+t'n\\\therefore m^{ed} \equiv m \pmod n\\证明完成 $$